Peta Karnaugh Untuk Dua Peubah
Peta Karnaugh menggambarkan harga/keadaan suatu fungsi untuk setiap kombinasi masukan yang mungkin dibentuk. Jadi sebenarnya, peta Karnaugh memetakan tabel kebenaran dalam kotak-kotak segi empat yang jumlahnya tergantung dari jumlah peubah (variabel) masukan. Untuk fungsi dengan 2 peubah, peta Karnaugh akan terdiri atas 22 = 4 kotak, untuk 3 peubah petanya akan terdiri atas 23 = 8 kotak dan seterusnya untuk n peubah petanya akan terdiri atas 2n kotak. Setiap kotak berisi 0 atau 1 yang menunjukkan keadaan fungsi untuk kombinasi masukan yang diwakili kotak bersangkutan. Untuk fungsi dengan 2 peubah peta Karnaugh disusun seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 3.1. Untuk penamaan seperti pada Gambar 3.1(a), kolom dalam peta mewakili peubah A sedangkan barisnya mewakili peubah B. Dalam Gambar 3.1(b), kolom mewakili harga B sedangkan baris mewakili harga A.
Harga yang akan diisikan dalam kolom 0 baris 0 menunjukkan harga fungsi untuk kombinasi A= 0 dan B= 0. Untuk gambar (a), kolom 1 baris 0 menunjukkan harga fungsi untuk kombinasi masukan A = 1 dan B = 0. Sebagai contoh,
dalam Gambar 3.2 ditunjukkan peta untuk f = A B + A B.
Setiap kotak diisi sesuai dengan harga yang sesuai dengan harga yang diperoleh dari tabel kebenarannya. Perhatikan bahwa kolom 0 baris 1 yang sesuai dengan harga fungsi untuk sukumin AB (A=0, B=1) diisi dengan 0 karena untuk kombinasi masukan ini, f=0. Untuk A=1 dan B=0, f=1 sehingga kolom 1 baris 0 diisi 1. Kotak-kotak lain diisi sesuai dengan harga fungsi f. Tampak bahwa pengisian peta Karnaugh semata-mata memindahkan tabel kebenaran untuk f ke dalam kotak-kotak dalam peta. Biasanya hanya harga 1 yang diisikan ke dalam peta sedangkan harga 0 dibiarkan saja kosong. Dengan perjanjian seperti ini, maka setiap kotak yang kosong sudah diartikan sebagai 0. Ini sebenarnya hanyalah mengurangi kesan sesak pada peta itu dan kalaupun diisi tidaklah mengubah artinya. Tetapi bila kita mau mencari bentuk minimum daripada fungsi dalam bentuk perkalian dari pada jumlah, artinya mengekspansikannya ke sukumax, dimana kita tertarik hanya pada harga 0 fungsi, maka sebaiknya hanya harga-harga 0 yang kita isikan ke dalam peta. Sekarang perhatikan bentuk sukumin yang diwakili oleh kotak-kotak yang berisi 1 dalam Gambar 3.2 di atas. Dapat dilihat bahwa perjumlahannya, yaitu f = A B + A B, yang dapat juga diperoleh dari tabel kebenaran, sebenarnya dapat
disederhanakan menjadi:
f = (A(not)+ A) B(not)
= B(not)
disederhanakan menjadi:
f = (A(not)+ A) B(not)
= B(not)
Dari peta Karnaugh, ini dapat dilihat dengan mudah karena kotak yang berisi 1 yang berdekatan harganya dapat dinyatakan dengan 00 dan 10. Dari kedua kode ini, kelihatan bahwa pada posisi pertama terjadi perubahan dari 0 ke 1 sedangkan pada posisi kedua tetap/sama dengan 0. Karena posisi pertama mewakili A dan kedua mewakili B, maka peubah A akan hilang dari sukuminnya, dan karena harga posisi kedua yang sesuai dengan B harganya 0, maka B akan muncul dalam bentuk komplemennya sehingga kita peroleh
f = B. Dalam hal ini kotak 00 (AB) bergabung dengan kotak 10 (AB) membentuk
faktor gabungan f = x0 = B
faktor gabungan f = x0 = B
Peta Karnaugh Untuk 3 Peubah
Untuk 3 peubah dapat dibentuk 23 = 8 macam kombinasi. Ini berarti bahwa untuk memetakan harga fungsi dengan tiga peubah dalam peta Karnaugh dibutuhkan 8 kotak. Peta dengan 8 kotak ini dapat digambarkan mendatar atau tegak dan pemberian nama peubahpun dapat dimulai dari kolom maupun baris. Yang harus dipegang adalah bahwa penentuan harga desimal dari kode biner setiap sukumin harus tetap sesuai urutan pemberian nama peubah itu dalam peta. Pada
fungsi 3 peubah A, B, dan C.
Kalau dalam peta dengan dua peubah hanya 1 peubah yang diwakili tiap baris dan kolom, maka untuk 3 peubah, setiap kolom (baris) menunjukkan 2 peubah dan baris (kolom) menunjukkan 1 peubah. Untuk menentukan harga setiap peubah untuk setiap kotak, maka harus dipegang bahwa setiap dua kotak yang berdekatan hanya satu peubah yang boleh berbeda keadaan. Perhatikan penomoran kolom pada Gambar 3.3(a) dan (b) dan penomoran baris pada
bergabung. Setiap dua kotak yang bergabung maka satu peubah hilang dari sukumin gabungannya dan bila 4 kotak bergabung maka 2 peubah akan hilang dari sukumin gabungannya.
PETA KARNOUGH 3 PEUBAH
Bentuk peta Karnaugh untuk fungsi dengan 3 peubah. Secara umum, n peubah akan hilang dari sukumin gabungannya bila 2n kotak bergabung. Untuk tiga peubah, bila 8 ( 23 ) kotak bergabung, maka 3 peubah akan hilang dari sukumin gabungannya dan ini terjadi bila semua kotak terisi 1 yang berarti bahwa untuk semua kombinasi masukan, f= 1. Dalam Gambar 3.3, setiap kotak ditandai dengan nomor sukuminnya, mi, untuk i= 0,1,2, .., 7. Ini perlu diingat untuk mempermudah pengisian peta bila fungsi yang akan disederhanakan diberikan dalam bentuk perjumlahan nomor sukumin ( mi). Sebagai contoh, untuk menyederhanakan fungsi:
f = SIGMA m (0,1,2,4,6)
f = SIGMA m (0,1,2,4,6)
Peta Karnaugh untuk 4 Peubah
Untuk 4 peubah dibutuhkan peta Karnaugh dengan 16 kotak dalam susunan 4 x 4 kotak. Kalau keempat peubah tersebut disebut dengan nama A, B, C, dan D, maka kolom dapat dipakai untuk menyatakan harga/ keadaan A dan B sedangkan baris menyatakan harga C dan D atau kolom menyatakan C dan D dan baris menyatakan A dan B. Bagaimanapun juga, aturan bahwa 2 kotak yang berdekatan hanya berbeda satu peubah harus tetap dipegang. Urutan penomoran serupa dengan yang dilakukan pada peta untuk 3 peubah di depan, seperti yang ditunjukkan juga pada Gambar 3.6(a). Perlu diperhatikan bahwa kolom paling pinggir kanan dan kiri, begitu juga baris paling atas dan paling bawah, adalah
berdekatan sehingga dapat bergabung. Sebagai contoh, pada Gambar 3.6(b) ditunjukkan penyederhanan fungsi:
f = sigma m (0,2,8,10,12,14).
Dengan melakukan penggabungan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.6 (b), yaitu penggabungan sukumin (0,2,8,10) dan (8,10,12,14), maka fungsi.
Peta Karnaugh Untuk 5 dan 6 Peubah
Untuk 5 peubah dibutuhkan 32 kotak dan ini dapat disusun baik dalam bentuk yang ditunjukkan pada Gambar 3.7 (a) maupun dalam bentuk seperti pada Gambar 37(b). Angka-angka di dalam setiap kotak dalam pada Gambar 3.7 menunjukkan nomor sukumin yang diwakili kotak bersangkutan.
kanan merupakan duplikat dari yang di kiri (dengan A berbeda). Bila bagian kanan dan kiri saling ditumpangkan satu di atas yang lain, maka selain penggabungan antar kotak pada satu bagian yang sama, kotak di bagian atas dapat bergabung dengan kotak bagian bawah yang berada di bawahnya. Pada Gambar 3.7(b), penggabungan dapat dilakukan atas kotak-kotak .
